题目内容
(2013•武汉)如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,点P是
的中点,连接PA,PB,PC.
(1)如图①,若∠BPC=60°.求证:AC=
AP;
(2)如图②,若sin∠BPC=
,求tan∠PAB的值.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/90/68f9d4d9.png)
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AB |
(1)如图①,若∠BPC=60°.求证:AC=
3 |
(2)如图②,若sin∠BPC=
24 |
25 |
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/90/68f9d4d9.png)
分析:(1)根据圆周角定理得∠BPC=∠BAC=60°,可判断△ABC为等边三角形,∠ACB=∠ABC=60°,再利用圆周角定理得到∠APC=∠ABC=60°,而点P是
的中点,则∠ACP=
∠ACB=30°,于是∠PAC=90°,然后根据30度的正切可计算出AC=
AP;
(2)过A点作AD⊥BC交BC于D,连结OP交AB于E,根据垂径的推论得到点O在AD上,连结OB,根据圆周角定理得∠BOD=∠BAC,∠BPC=∠BAC,所以sin∠BOD=sin∠BPC=
=
,设OB=25x,则BD=24x,在Rt△OBD中可计算出OD=7x,再在Rt△ABD计算出AB=40x,由于点P是
的中点,根据垂径定理的推论OP垂直平分AB,则AE=
AB=20x,
在Rt△AEO中,根据勾股定理计算出OE=15x,所以PE=OP-OE=25x-15x=10x,最后在Rt△APE中,利用正切的定义求解.
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AB |
1 |
2 |
3 |
(2)过A点作AD⊥BC交BC于D,连结OP交AB于E,根据垂径的推论得到点O在AD上,连结OB,根据圆周角定理得∠BOD=∠BAC,∠BPC=∠BAC,所以sin∠BOD=sin∠BPC=
24 |
25 |
BD |
OB |
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AB |
1 |
2 |
在Rt△AEO中,根据勾股定理计算出OE=15x,所以PE=OP-OE=25x-15x=10x,最后在Rt△APE中,利用正切的定义求解.
解答:解:(1)∵∠BPC=60°,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201307/56/1c294944.png)
∴∠BAC=60°,
∵AB=AC,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠APC=∠ABC=60°,
而点P是
的中点,
∴∠ACP=
∠ACB=30°,
∴∠PAC=90°,
∴tan∠PCA=
=tan30°=
,
∴AC=
PA;
(2)过A点作AD⊥BC交BC于D,连结OP交AB于E,如图,
∵AB=AC,
∴AD平分BC,
∴点O在AD上,
连结OB,则∠BOD=∠BAC,
∵∠BPC=∠BAC,
∴sin∠BOD=sin∠BPC=
=
,
设OB=25x,则BD=24x,
∴OD=
=7x,
在Rt△ABD中,AD=25x+7x=32x,BD=24x,
∴AB=
=40x,
∵点P是
的中点,
∴OP垂直平分AB,
∴AE=
AB=20x,∠AEP=∠AEO=90°,
在Rt△AEO中,OE=
=15x,
∴PE=OP-OE=25x-15x=10x,
在Rt△APE中,tan∠PAE=
=
=
,
即tan∠PAB的值为
.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201307/56/1c294944.png)
∴∠BAC=60°,
∵AB=AC,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠APC=∠ABC=60°,
而点P是
![]() |
AB |
∴∠ACP=
1 |
2 |
∴∠PAC=90°,
∴tan∠PCA=
PA |
AC |
| ||
3 |
∴AC=
3 |
(2)过A点作AD⊥BC交BC于D,连结OP交AB于E,如图,
∵AB=AC,
∴AD平分BC,
∴点O在AD上,
连结OB,则∠BOD=∠BAC,
∵∠BPC=∠BAC,
∴sin∠BOD=sin∠BPC=
24 |
25 |
BD |
OB |
设OB=25x,则BD=24x,
∴OD=
OB2-BD2 |
在Rt△ABD中,AD=25x+7x=32x,BD=24x,
∴AB=
AD2+BD2 |
∵点P是
![]() |
AB |
∴OP垂直平分AB,
∴AE=
1 |
2 |
在Rt△AEO中,OE=
AO2-AE2 |
∴PE=OP-OE=25x-15x=10x,
在Rt△APE中,tan∠PAE=
PE |
AE |
10x |
20x |
1 |
2 |
即tan∠PAB的值为
1 |
2 |
点评:本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理、圆周角定理和解直角三角形.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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