Question

一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式，并说明点（1，2）是否在函数图象上；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点A、B的坐标代入y=kx+b并计算出k、b的值，从而得出解析式，然后验证（1，2）是否在函数图象上即可；
（2）取点C关于点O的对称点为C′，连接DC′，即C′、P、D共线时，PC+PD的最小值是C′D．在直角三角形C′CD中，根据勾股定理，可得C′D的长，根据三角形的中位线定理已知点P的坐标；

解答：解：（1）∵y=kx+b过A（2，0），B（0，4），
∴将点A、B的坐标代入y=kx+b计算得，
 k=-2，b=4，
∴解析式为：y=-2x+4；
当x=1时，y=-2×1+4=2，所以点在函数图象上．

（2）存在一点P，使PC+PD最小．
∵0（0，0），A（2，0），且C为AO的中点，
∴点C的坐标为（1，0），
则C关于y轴的对称点为C′（-1，0），
又∵B（0，4），A（2，0）且D为AB的中点，
∴点D的坐标为（1，2），
连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b，
有

2=k+b 0=-k+b

，
解得

k=1 b=1

，
∴y=x+1是DC′的解析式，
∵x=0，∴y=1，
即P（0，1）．
∵PC+PD的最小值=C′D，
∴由勾股定理得C′D=2

2

．

点评：本题考查了一次函数的综合应用及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决．