题目内容

【题目】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.

【答案】证明:(1)∵AB∥CD,即AE∥CD,
又∵CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD,
又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=CE,
∴四边形AECD是菱形;
(2)解:△ABC是直角三角形.
证法一:∵E是AB中点,∴AE=BE.
又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE,
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,
∴2∠BCE+2∠ACE=180°,∴∠BCE+∠ACE=90°.
即∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形.
证法二:连DE,由四边形AECD是菱形,得到DE⊥AC,且平分AC,
设DE交AC于F,
∵E是AB的中点,且F为AC中点,
∴EF∥BC.∠AFE=90°,
∴∠ACB=∠AFE=90°,
∴BC⊥AC,
∴△ABC是直角三角形.

【解析】(1)根据两组对边分别平行证得四边形AECD是平行四边形,只需证明四边形AECD的两邻边相等即可.根据AC平分∠BAD,以及CE∥AD,易证得∠EAC=∠ECA,由此可知AE=CE,即四边形AECD是菱形;
(2)连DE,DE交AC于F,根据菱形的性质,对角线互相垂直且平分有:DE垂直平分AC,则EF是△ABC的中位线,有EF∥BC,则BC⊥AC,由此可证得△ABC是直角三角形.

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