Question

如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH=       ，AC=    ，△ABC的面积S_△ABC=      ；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S_△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

Answer 1

探究：12；15；84
拓展：（1）    
（2）当时，的最大值为15，当时，的最小值为12
（3）或
发现：直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和最小，最小值为

探究：在Rt△ABH中，AB=13，，∴BH=AB。
∴根据勾股定理，得。
∵BC=14，∴HC=BC－BH=9。∴根据勾股定理，得。
∴。
拓展：（1）直接由三角形面积公式可得。
（2）由（1）和即可得到关于x的反比例函数关系式。根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB=13，BC=14，所以当BD=BC=14时，x最大。从而根据反比例函数的性质求出m+n）的最大值和最小值。
（3）当时，此时BD⊥AC，在线段AC上存在唯一的点D；当时，此时在线段AC上存在两点D；当时，此时在线段AC上存在唯一的点D。因此x的取值范围为或。
发现：由拓展（2）知，直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和（即△ABC中AC边上的高）最小，最小值为（它小于BC边上的高12和AB边上的高）。
解：探究：12；15；84。
拓展：（1）由三角形面积公式，得
，。
（2）由（1）得，，
∴
∵△ABC中AC边上的高为，
∴x的取值范围为。
∵随x的增大而减小，
∴当时，的最大值为15，当时，的最小值为12。
（3）x的取值范围为或。
发现：直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和最小，最小值为。