Question

已知二次函数。

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。

Answer 1

解：（1）因为△=，
 所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
（2） 设x₁、x₂是的两个根，
则，，
因为两交点的距离是，
所以，
即：，
变形为：，
∴，
整理，得，
解得，，
又因为，
所以，
所以：此二次函数的解析式为。
（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，
所以：AB=，
所以，S_△PAB=，
所以，，
即，则，
①当时，，即，
解得，=-2或3，
②当时，，即，
解得，=0或1，
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（-2，3），（3，3），（(0， -3）或（1， -3）。