Question

如图，已知△ABC中AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB．
①试说明四边形AEDF的形状．
②当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，为什么？

Answer 1

分析：①由“两组对边相互平行的四边形是平行四边形”来证明四边形AEDF是平行四边形；再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证?AEDF实菱形．
②由“有一内角是直角的菱形是正方形”进行解答．

解答：①证明：如图，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠2=∠3．
又∵AD平分∠BAC，
∠1=∠2
∴∠1=∠3．
∴AE=DE．
∴平行四边形AEDF为菱形；

②在△ABC中，∠BAC=90°．理由如下：
由①知，平行四边形AEDF为菱形．
若菱形AEDF是正方形时，只需∠BAC=90°即可．
所以，∠BAC=90°．

点评：本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质．注意菱形与正方形间的关系：正方形是特殊的菱形--有一内角是直角的菱形是正方形．