Question

如图，OM⊥ON．已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别向射线OM，ON上滑动，当∠OAB=21°时，∠NBC=

51°

．滑动过程中，连接OC，则OC的长的最大值是

3

+1

．

Answer 1

分析：根据直角三角形的两锐角互余，由∠OAB的度数求出∠ABO的度数，再由三角形ABC为等边三角形，可得内角∠ABC为60°，根据∠NBC=180°-∠ABC-∠ABO，即可求出∠NBC的度数；取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．

解答：解：等边三角形各内角为60°，
∵∠NBC=180°-∠ABC-∠ABO，∠ABO=90°-∠OAB，∠OAB=21°，
∴∠NBC=51°；
取AB中点D，连OD，DC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD．
∵△ABC为等边三角形，D为中点，
∴BD=1，BC=2，根据勾股定理得：CD=

3

，
又△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=

1

2

AB=1，
∴OD+CD=1+

3

，即OC的最大值为1+

3

．
故答案为：51°；1+

3

点评：此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．