题目内容

如图，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D，
（1）求证：△ACE∽△ADC；
（2）如果CE=1，CD=2，求AC的长．

（1）证明：∵∠D=90°-∠DEC=90°-∠BEA=∠B（2分）
∵AB=AC，
∴∠ACE=∠B，∴∠D=∠ACE（1分）
又∠EAC=∠CAD（公共角）（1分）
∴△ACE∽△ADC（AA）（2分）

（2）设AC=AB=x
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （2分）
$\text{[math]}$ （1分）
∵△ACE∽△ADC，∴ $\text{[math]}$ ，即AC•DC=EC•AD（2分）
所以有 $\text{[math]}$
解之得 $\text{[math]}$ ．（3分）
分析：（1）由对顶角相等、等角的余角相等求得∠D=∠B；然后根据等腰三角形ABC的两个底角相等、等量代换推知∠D=∠ACE；最后由公共角∠EAC=∠CAD证明△ACE∽△ADC（AA）；
（2）设AC=AB=x．利用（1）中的∠D=∠B、直角三角形的正切三角函数的定义推知AE= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ x；然后根据勾股定理求得AD=AE+ED= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ；最后根据△ACE∽△ADC的对应边成比例列出关于x的方程，解方程即可．
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形．解答该题时，利用三角函数的定义求相关线段间的数量关系是解题的关键．