题目内容

【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)

(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ,解得

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3


(2)

解:如图1,连接BC,过P作y轴的平行线,交BC于点M,交x轴于点H,

在y=x2﹣2x﹣3中,令y=0可得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1或x=3,

∴A点坐标为(﹣1,0),

∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,

∴SABC= ABOC= ×4×3=6,

∵B(3,0),C(0,﹣3),

∴直线BC解析式为y=x﹣3,

设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),则M点坐标为(x,x﹣3),

∵P点在第四限,

∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,

∴SPBC= PMOH+ PMHB= PM(OH+HB)= PMOB= PM,

∴当PM有最大值时,△PBC的面积最大,则四边形ABPC的面积最大,

∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣ 2+

∴当x= 时,PMmax= ,则SPBC= × =

此时P点坐标为( ,﹣ ),S四边形ABPC=SABC+SPBC=6+ =

即当P点坐标为( ,﹣ ),四边形ABPC的面积最大,最大面积为


(3)

解:①当点Q在x轴下方时,如图2,设直线m交y轴于点N,交直线l于点G,

则∠AGB=∠GNC+∠GCN,

当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB,

又∠AGB+∠CGB=180°,

∴∠AGB=∠CGB=90°,

∴∠ACO=∠OBN,

在Rt△AOC和Rt△NOB中

∴Rt△AOC≌Rt△NOB(ASA),

∴ON=OA=1,

∴N点坐标为(0,﹣1),

设直线m解析式为y=kx+d,把B、N两点坐标代入可得 ,解得

∴直线m解析式为y= x﹣1;

②当点Q在x轴上方时,此时直线m与①中的直线m关于x轴对称,

∴解析式为y=﹣ x+1;

综上可知存在满足条件的直线m,其解析式为y= x﹣1或y=﹣ x+1


【解析】(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)连接BC,则△ABC的面积是不变的,过P作PM∥y轴,交BC于点M,设出P点坐标,可表示出PM的长,可知当PM取最大值时△PBC的面积最大,利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积;(3)设直线m与y轴交于点N,交直线l于点G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以当△AGB和△NGC相似时,必有∠AGB=∠CGB=90°,则可证得△AOC≌△NOB,可求得ON的长,可求出N点坐标,利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式.

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