题目内容

【题目】如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,AB=4,PC、PD是⊙O的两条切线,C、D为切点.

(1)如图1,求⊙O的半径;

(2)如图1,若点EBC的中点,连接PE,求PE的长度;

(3)如图2,若点MBC边上任意一点(不含B、C),以点M为直角顶点,在BC的上方作∠AMN=90°,交直线CP于点N,求证:AM=MN.

【答案】(1)2;(2)2;(3)证明见解析.

【解析】

试题(1)由切线的性质和正方形的判定与性质得出⊙O的半径即可;

2)由垂径定理得出OE⊥BC∠OCE=45°,再用勾股定理即可得出结论;

3)在AB上截取BF=BM,利用(1)中所求,得出∠ECP=135°,再利用全等三角形的判定与性质得出即可.

试题解析:(1)如图1,连接ODOC∵PCPD⊙O的两条切线,CD为切点,∴∠ODP=∠OCP=90°四边形ABCD⊙O的内接正方形,∴∠DOC=90°OD=OC四边形DOCP是正方形,∵AB=4∠ODC=∠OCD=45°∴DO=CO=DCsin45°=×4=

2)如图1,连接EOOPEBC的中点,∴OE⊥BC∠OCE=45°,则∠E0P=90°∴EO=EC=2OP=CO=4∴PE==

3)如图2,在AB上截取BF=BM∵AB=BCBF=BM∴AF=MC∠BFM=∠BMF=45°∵∠AMN=90°∴∠AMF+∠NMC=45°∠FAM+∠AMF=45°∴∠FAM=∠NMC由(1)得:PD=PC∠DPC=90°∴∠DCP=45°∴∠MCN=135°∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°,在△AFM△CMN中,∵∠FAM=∠CMNAF=MC∠AFM=∠MCN∴△AFM≌△CMNASA),∴AM=MN

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