已知.点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点.分别过点A.C向直线BP作垂线.垂足分别为点E.F.点O为AC的中点．(1)当点P与点O重合时.如图1.说明:OE=OF(2)若直线BP绕点B逆时针方向旋转.如图2.(1)中的结论是否成立?说明理由．(3)直线BP绕点B逆时针方向旋转图3的位置(点P在对角线AC的延长线上).若∠OFE=30°.猜想线段CF.AE.OE之间有怎样的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知，点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时，如图1，说明：OE=OF
（2）若直线BP绕点B逆时针方向旋转（点P在对角线AC上），如图2，（1）中的结论是否成立？说明理由．
（3）直线BP绕点B逆时针方向旋转图3的位置（点P在对角线AC的延长线上），若∠OFE=30°，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？

分析（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；
（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE=OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（3）FC+AE=OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得：△AOE≌△COG，OF=$\frac{1}{2}$EG=OE=OG，再利用∠OFE=30°，得△GOF是等边三角形，根据边长相等可以得出结论．

解答解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）如图2，（1）中的结论仍然成立，理由是：
延长EO交CF于G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠OCG，
∵AO=OC，∠AOE=∠COG，
∴△AOE≌△COG，
∴EO=OG，
在Rt△EFG中，FO=$\frac{1}{2}$EG=OE；
（3）FC+AE=OE，理由是：
如图3，延长EO、FC交于G，
同理得：△AOE≌△COG，
∴OE=OG，AE=CG，
在Rt△EGF中，OF=$\frac{1}{2}$EG=OE=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴∠GOF=60°，
∴△GOF是等边三角形，
∴FG=OG，
∴FC+CG=OG，
∴FC+AE=OE．

点评本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．

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