Question

如图△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=5cm；△DEF中，∠D=90º,∠E=45º,DE=3cm.现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB方向移动（如图）.在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F与点B重合为止）.

（1）在△DEF沿AB方向移动的过程中，有人发现：E、B两点间的距离随AD的变化而变化，现设AD="x,BE=y," 请你写出与之间的函数关系式及其定义域.
（2）请你进一步研究如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？
问题②：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.
问题③：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、EB、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？

Answer 1

（1）(其中0x7)
①，②，
③当AD为斜边时,AD=BE+BC，=+25解得x=6.7
当BE为斜边时,BE=AD+BC，=+25解得x=4.2
当BC为斜边时,BC=BE+AD，25=+无实数解

试题分析：
（1）根据题意，观察图形，由勾股定理即可求出；
（2）①因为∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，所以AC=10cm，又因为∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，连接BE，设BE∥AC，则可求证∠FCD=∠A=30°，故AD的长可求；
②假设∠EBD=22.5°，因为∠EDF=45°，所以EF=BF，求得AD=,故不存在．
③设AD=x，则BE=，再分情况讨论：FC为斜边；AD为斜边；BC为斜边．综合分析即可求得AD的长；
试题解析：
∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，
∴AB=10
,
(其中0x7)
（2）①当BE∥AC时，则∠EBD=∠A=30°
∴，
，∴
②当∠EBD=22.5°，∵∠EFD=45°，∴EF=BF，
，∴
③BE=，BC="5"
当AD为斜边时,AD=BE+BC，=+25解得x=6.7
当BE为斜边时,BE=AD+BC，=+25解得x=4.2
当BC为斜边时,BC=BE+AD，25=+无实数解