Question

如图，抛物线y＝－2x²＋bx与x轴的两个不同交点是O与A，顶点B在直线y＝x上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)证明△OAB是等边三角形；

(3)在抛物线上是否存在点P，使∠OPA＝90°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由，(抛物线y＝ax²＋bx＋c的顶点坐标是(－，)

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵y=－2x2＋bx的顶点坐标是B，且点B在直线y=x上，∴，即b2=．∵点A与点O是两个不同的点，∴b≠0．∴b=2．∴抛物线的解析式是y=－2x2＋2x 　　(2)抛物线y=－2x2+2与x轴的交点坐标是O(0．0)，A(．0)．顶点B．过B作BC⊥OA于C，则OC=，BC=，AC=．BO=，AB=．∵OA=AB=BO=，∴△OAB是等边三角形； 　　(3)解法一：假设存在符合条件的点P(m，n)，依题意由图可知m＞0，n＞0，连结OP，PA，过点P作PD⊥OA于D，则Rt△OPD∽Rt△PAD，∴．∴PD2=OD·DA，∴n2=－m(－m)，2n2=－2m2＋2m．①　∵点P在抛物线y=－2x2＋2上，∴n=－2m2+2m．②　由①和②得2n2=n，解得n1=或n2=0(舍去)。以n=代入②得－2m2+2，解得m1=，m2=．因此在抛物线y=－2x2＋2上存在点P，使得∠OPA=，其坐标是P或P 　　解法二：假高存在符合条件的点P(x，－2x2+2m)依题意由图可知x＞0，－2x2＋2＞0，连接OP，PA过点P作PD⊥OA于D，则Rt△OPD∽Rt△PAD，∴．∴PD2=OD·DA，∴(－2x2＋2)=∴4x2＋因此在抛物线y=－2x2＋2上存在点P，使得∠OPA=，其坐标是P或P