Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），且﹣2＜x₁＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：
①abc＜0；②b²＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．
则其中正确结论的序号是

A．①②

B．②③

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

C。
【考点】二次函数图象与系数的关系，一元二次方程的判别式和根与系数的关系，不等式的性质

解析试题分析：作出示意图如图，

∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），且﹣2＜x₁＜﹣1，与y轴正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，则x=＞0，
∴b＞0。∴abc＜0。所以①正确。
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²﹣4ac＞0，即b²＞4ac。所以②正确。
当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，∴2a+b+=0。
∵0＜c＜2，∴2a+b+1＞0。所以③错误。
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），
∴方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，2。∴2x₁=，即x₁=。
∵﹣2＜x₁＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1。
∵a＜0，∴﹣4a＞c＞﹣2a。∴2a+c＞0。所以④正确。
综上所述，正确结论的序号是①②④。故选C。