题目内容

【题目】如图1,平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3x轴的两个交点分别为A(﹣3,0),B(1,0),与y轴的交点为D,对称轴与抛物线交于点C,与x轴负半轴交于点H.

(1)求抛物线的表达式;

(2)点E,F分别是抛物线对称轴CH上的两个动点(点E在点F上方),且EF=1,求使四边形BDEF的周长最小时的点E,F坐标及最小值;

(3)如图2,点P为对称轴左侧,x轴上方的抛物线上的点,PQ⊥AC于点Q,是否存在这样的点P使△PCQ△ACH相似?若存在请求出点P的坐标,若不存在请说明理由.

【答案】1y=x22x+32)故四边形BDEF的周长最小时,点E的坐标为(﹣1 ),点F坐标为(﹣1 ),四边形BDEF周长的最小值是+1+;(3P的坐标为(﹣

【解析】试题分析:1)将点A-30)、B10)代入抛物线的解析式得到关于ab的方程组即可;

2)先求得C-14).将D点向下平移1个单位,得到点M,连结AM交对称轴于F,作DEFM交对称轴于E点,则四边形BDEF周长的最小值=BD+EF+AM,然后求得直线AM的解析式,从而可求得点F的坐标,最后依据EF=1可得到点E的坐标;

3)当△PCQ∽△ACH时,∠PCQ=ACH.过点ACA的垂线交PC与点F,作FNx轴与点N.则AFPQ,先证明△CPQ∽△CFAFNA∽△AHC,依据相似三角形的性质可求得AN=2FN=1,则F-51),然后再求得直线CF的解析式,将CF的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组可求得点P的坐标.

试题解析:

1)解:∵抛物线y=ax2+bx+3过点A﹣30),B10),

,解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

2)解:∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣x+12+4

∴顶点C﹣14).

D点向下平移1个单位,得到点M,连结AM交对称轴于F,作DEFM交对称轴于E点,如图1所示.

EFDMDEFM

∴四边形EFMD是平行四边形,

DE=FMEF=DM=1

DE+FB=FM+FA=AM

由勾股定理,得AM= = =

BD== =

四边形BDEF周长的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+DE+FB=BD+EF+AM= +1+

AM的解析式为y=mx+n,将A30),M02)代入,解得m=n=2,则AM的解析式为y= x+2

x=1时,y=,即F1 ),

EF=1,得E1 ).

故四边形BDEF的周长最小时,点E的坐标为(﹣1 ),点F坐标为(﹣1 ),四边形BDEF周长的最小值是 +1+

3)解:点P在对称轴左侧,当△PCQ∽△ACH时,∠PCQ=ACH

过点ACA的垂线交PC与点F,作FNx轴与点N.则AFPQ

∴△CPQ∽△CFA

= =2

∵∠CAF=90°

∴∠NAF+CAH=90°NFA+NAF=90°

∴∠BFA=CAH

又∵∠FNA=AHC=90°

∴△FNA∽△AHC

== =,即 = =

AN=2FN=1

F﹣51).

设直线CF的解析式为y=kx+b,将点C和点F的坐标代入得: ,解得:k= b=

∴直线CF的解析式为y= x+

y= x+ y=x22x+3联立得: ,

解得: (舍去).

P ).

∴满足条件的点P的坐标为 ).

点睛: 本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、轴对称的性质,找出四边形BDEF周长取得最小值的条件是解题的关键.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网