题目内容
【题目】如图1,平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(﹣3,0),B(1,0),与y轴的交点为D,对称轴与抛物线交于点C,与x轴负半轴交于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点E,F分别是抛物线对称轴CH上的两个动点(点E在点F上方),且EF=1,求使四边形BDEF的周长最小时的点E,F坐标及最小值;
(3)如图2,点P为对称轴左侧,x轴上方的抛物线上的点,PQ⊥AC于点Q,是否存在这样的点P使△PCQ与△ACH相似?若存在请求出点P的坐标,若不存在请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3(2)故四边形BDEF的周长最小时,点E的坐标为(﹣1, ),点F坐标为(﹣1,
),四边形BDEF周长的最小值是
+1+
;(3)点P的坐标为(﹣
,
)
【解析】试题分析:(1)将点A(-3,0)、B(1,0)代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组即可;
(2)先求得C(-1,4).将D点向下平移1个单位,得到点M,连结AM交对称轴于F,作DE∥FM交对称轴于E点,则四边形BDEF周长的最小值=BD+EF+AM,然后求得直线AM的解析式,从而可求得点F的坐标,最后依据EF=1可得到点E的坐标;
(3)当△PCQ∽△ACH时,∠PCQ=∠ACH.过点A作CA的垂线交PC与点F,作FN⊥x轴与点N.则AF∥PQ,先证明△CPQ∽△CFA、△FNA∽△AHC,依据相似三角形的性质可求得AN=2,FN=1,则F(-5,1),然后再求得直线CF的解析式,将CF的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组可求得点P的坐标.
试题解析:
(1)解:∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(﹣3,0),B(1,0),
∴,解得
,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3
(2)解:∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴顶点C(﹣1,4).
将D点向下平移1个单位,得到点M,连结AM交对称轴于F,作DE∥FM交对称轴于E点,如图1所示.
∵EF∥DM,DE∥FM,
∴四边形EFMD是平行四边形,
∴DE=FM,EF=DM=1,
DE+FB=FM+FA=AM.
由勾股定理,得AM= =
=
,
BD==
=
,
四边形BDEF周长的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+(DE+FB)=BD+EF+AM= +1+
;
设AM的解析式为y=mx+n,将A(﹣3,0),M(0,2)代入,解得m=,n=2,则AM的解析式为y=
x+2,
当x=﹣1时,y=,即F(﹣1,
),
由EF=1,得E(﹣1, ).
故四边形BDEF的周长最小时,点E的坐标为(﹣1, ),点F坐标为(﹣1,
),四边形BDEF周长的最小值是
+1+
;
(3)解:点P在对称轴左侧,当△PCQ∽△ACH时,∠PCQ=∠ACH.
过点A作CA的垂线交PC与点F,作FN⊥x轴与点N.则AF∥PQ,
∴△CPQ∽△CFA,
∴=
=2.
∵∠CAF=90°,
∴∠NAF+∠CAH=90°,∠NFA+∠NAF=90°,
∴∠BFA=∠CAH.
又∵∠FNA=∠AHC=90°,
∴△FNA∽△AHC,
∴=
=
=
,即
=
=
.
∴AN=2,FN=1.
∴F(﹣5,1).
设直线CF的解析式为y=kx+b,将点C和点F的坐标代入得: ,解得:k=
,b=
.
∴直线CF的解析式为y= x+
.
将y= x+
与y=﹣x2﹣2x+3联立得:
,
解得: 或
(舍去).
∴P(﹣,
).
∴满足条件的点P的坐标为(﹣,
).
点睛: 本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、轴对称的性质,找出四边形BDEF周长取得最小值的条件是解题的关键.
