Question

20．已知$\frac{1}{1}$、$\frac{3}{1}$、$\frac{11}{4}$、$\frac{2}{1}$、$\frac{21}{16}$、$\frac{13}{16}$、$\frac{31}{64}$、$\frac{9}{32}$、…是一串规律的最简分数，那么横线中应填的分数是$\frac{21}{16}$．

Answer 1

分析 $\frac{1}{1}$=$\frac{1}{2°}$、$\frac{3}{1}$=$\frac{6}{2}$=$\frac{6}{{2}^{1}}$、$\frac{11}{4}$=$\frac{11}{{2}^{2}}$、$\frac{2}{1}$=$\frac{16}{8}$=$\frac{16}{{2}^{3}}$、（　　）、$\frac{13}{16}$=$\frac{26}{32}$=$\frac{26}{{2}^{5}}$、$\frac{31}{64}$=$\frac{31}{{2}^{6}}$、$\frac{9}{32}$=$\frac{36}{128}$=$\frac{35}{{2}^{7}}$…根据分数的基本性质，把$\frac{3}{1}$的分子、分母都乘2、$\frac{3}{1}$的分子、分母都乘2、$\frac{2}{1}$的分子、分母都乘8、$\frac{9}{32}$的分子、分母都乘4…我们会发现：这一数列的分子是等差数列，公差是5，由左到右依次递增；分母由左到右分别是2⁰、2¹、2³…由此即可求出所缺分数是$\frac{21}{{2}^{4}}$，即$\frac{21}{16}$．

解答 解：$\frac{1}{1}$=$\frac{1}{2°}$、$\frac{3}{1}$=$\frac{6}{2}$=$\frac{6}{{2}^{1}}$、$\frac{11}{4}$=$\frac{11}{{2}^{2}}$、$\frac{2}{1}$=$\frac{16}{8}$=$\frac{16}{{2}^{3}}$、$\frac{21}{16}$=$\frac{21}{{2}^{4}}$、$\frac{13}{16}$、$\frac{31}{64}$、$\frac{9}{32}$、…那么横线中应填的分数是 $\frac{21}{16}$．
故答案为：$\frac{21}{16}$，$\frac{21}{16}$．

点评 寻找这一组分数的规律的难点在于都是给出的最简分数，不容易看出规律，需要根据分数的基本性质把某些分数的分子、分母都乘一个适当的数，才能与其他分数成为有规律的数列．