Question

把自然数依次排成以下数阵：
1，2，4，7，11，…
3，5，8，12，…
6，9，13，…
10，14，…
15，…
…
现规定横为行，纵为列．求
（1）第10行第5列排的是哪一个数？
（2）第5行第10列排的是哪一个数？
（3）2004排在第几行第几列？

Answer 1

考点：数阵图中找规律的问题

专题：数阵图中找规律的问题

分析：通过观察，这个数阵有如下规律：
①将从1开始的自然数按右下斜行排列，例如第一斜行是1，第二斜行是2、3，…；
②同行相邻两数的差每次+1，同列相邻两数的差也是每次+1；
③相邻两行（列），从左到右同列（行）两数的差每次+1．
（1）第5列第一个数是11，而第4列第一、二行两个数的差是5，根据规律③，可得第5列第一、二行两个数的差是6，然后再根据规律②，求出第10行第5列排的是多少即可；
（2）第5行第一个数是15，而第4行第一、二列两个数的差是4，根据规律③，可得第5行第一、二列两个数的差是5，然后再根据规律②，求出第5行第10列排的是多少即可；
（3）首先判断出2004在哪个斜行，前n个斜行数字个数是首项、公差都是1的等差数列，当n=62时，62×63÷2=1953；当n=63时，63×64÷2=2016，所以2004在第63斜行，而这一斜行的第一个数是1954，即1954位于第1行第63列，因为2004-1954=50，所以2004排在第1+50=51（行），第63-50=13（列）．

解答： 解：（1）第5列第一个数是11，而第4列第一、二行两个数的差是5，
根据规律③，可得第5列第一、二行两个数的差是6，
根据规律②，可得求出第10行第5列排的是：
11+（6+7+8+9+10+11+12+13+14）=11+（6+14）×9÷2=101；
答：第10行第5列排的是101．

（2）第5行第一个数是15，而第4行第一、二列两个数的差是4，
根据规律③，可得第5行第一、二列两个数的差是5，
根据规律②，可得求出第5行第10列排的是：
15+（5+6+7+8+9+10+11+12+13）=15+（5+13）×9÷2=96；
答：第5行第10列排的是96．

（3）因为前n个斜行数字个数是首项、公差都是1的等差数列，
当n=62时，62×63÷2=1953；
当n=63时，63×64÷2=2016，
所以2004在第63斜行，而这一斜行的第一个数是1954，即1954位于第1行第63列，
因为2004-1954=50，
所以2004排在第1+50=51（行），第63-50=13（列）．
答：2004排在第51行第13列．

点评：此题主要考查了数阵图中找规律问题的应用，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是判断出数列的排列规律，并能正确应用．