Question

13．有一块长方体木块，其长、宽、高分别是24cm，13cm，9cm，如图①所示，现在要制作一个玩具，需要从这个长方体木块上切取尽可能多的小正方体木块（棱长为2cm），剩下的木块如图②所示L形．
（1）被切掉的棱长是2cm的小正方体木块最多有几块？
（2）剩下的L形木块的表面积是多少？

Answer 1

分析 （1）表面看来，求“多少块棱长为2cm的小正方形被锯掉了”似乎是一个简单的立体图形体积之间的关系问题，实际上则不然．原因是长方体木块的长、宽、高分别是24cm，13cm，9cm，只有长24cm是小正方体棱长2cm的整数倍，也就是说，棱长为2cm的小正方体可以沿“长”（纵向）这条棱被全部锯掉，但沿另外两条棱锯必然会剩下一段．因此，求“锯去尽可能多的小正方体木块”的块数，不能简单地用长方体木块的体积除以小正方体木块的体积（常规思维模式）去做：（24cm×13cm×9cm）÷（2cm×2cm×2cm），而需要考虑分别沿长、宽、高三条棱锯，最多能锯掉几个小正方体木块，即求长方体木块的长、宽、高分别是小正方体木块棱长的最大整数倍数．很容易我们就可以求得最大整数倍数为12、6、4倍．由此，我们可以得到：12×6×4=288（块）．
（2）通过第（1）题的计算，我们不难发现剩下的L-形木块的纵截面的内宽应是12cm，内高是8cm，上宽应是1cm，底面高是1cm．而同时，L-形木块不是一个简单的立体图形，可以看作由两个长方体木块组合而成的，因此，我们可以分别计算出两个长方体的表面积后，相加并减去“重叠部分”面积，即可得到剩下的L-形木块总表面积．

解答 解：（1）24÷2=12（块）
13÷2≈6（块）…1（cm）
9÷2≈4（块）…1（cm）
12×6×4=288（块）   
答：被切掉的棱长是2cm的小正方体木块最多有288块．

（2）（24×13+24×1+13×1）×2+（1×24+1×8+24×8）×2-1×24×2
=349×2+224×2-48
=698+448-48
=1098（cm²）．
答：剩下的L-形木块总表面积是1098平方厘米．

点评 这是一道几何中的有关体积和表面积的应用问题．注意求“锯去尽可能多的小正方体木块”的块数，不能简单地用长方体木块的体积除以小正方体木块的体积（常规思维模式）去做：（24cm×13cm×9cm）÷（2cm×2cm×2cm），而需要考虑分别沿长、宽、高三条棱锯，最多能锯掉几个小正方体木块，即求长方体木块的长、宽、高分别是小正方体木块棱长的最大整数倍数．