Question

从1开始的连续自然数依次写成一个多位数：A=1234567891011…200920102011，则数字A除以9的余数是

1

．

Answer 1

分析：根据9的整除性可知，2011除以9的余数和2+1+1除以9的余数一样，20102011除以9的余数和2+1+1+2+1的余数一样，而2+1+1+2+1的余数和2011+2010的余数也是一样，所以1234567891011…200920102011的余数和1+2+3+4+5+6+7+7+8+9+10+11+…+2009+2010+2011的余数一样，而1+2+3+4+5+6+7+7+8+9+10+11+…+2009+2010+2011=2011×1006，而2011×1006的余数与2011和1006分别除以9后的余数的乘积除以9的余数相同，2011除以9的余数是4，1006除以9余数是7，所以余数是28除以9的余数为1．

解答：解：根据9的整除性可知，
一个数除以9的余数与这个数的各位数相加的和除以9的余数是一样的，
而两个数各位数字相加的和除以9的余数与这两个数字相加的和除以9的余数也是相同的．
即1234567891011…200920102011的余数和1+2+3+4+5+6+7+7+8+9+10+11+…+2009+2010+2011的余数一样，
1+2+3+4+5+6+7+7+8+9+10+11+…+2009+2010+2011
=（1+2011）×2011÷2，
=2012÷2×2011，
=1006×2011．
2011×1006的余数与2011和1006分别除以9后的余数的乘积除以9的余数相同，
2011÷9=223…4，
1006÷9=111…7，
4×7÷9=3…1，
即数字A除以9的余数是1．

点评：明确“一个数除以9的余数与这个数的各位数相加的和除以9的余数是一样的”及“两个数各位数字相加的和除以9的余数与这两个数字相加的和除以9的余数也是相同的”是完成本题的关键．