Question

有这样一串数

1

2

、

1

3

、

2

3

、

1

4

、

2

4

、

3

4

、

1

5

、

2

5

、

3

5

、

4

5

…
（1）第407个分数是多少？
（2）从

1

2

开始，前407个分数的和是多少？

Answer 1

考点：数列中的规律

专题：探索数的规律

分析：（1）观察给出的数列知道，分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个…分母是n的分数有n-1个，由此知道根据等差数列前n项的和n（n-1）÷2，先求出第407个分数的分母，进一步解决问题即可．
（2）分母是2的分数的和是

1

2

，分母是3的分数的和是1，分母是4的分数的和是

3

2

，分母是5的分数的和是2，…分母每增加1，它们的和就增加

1

2

，由此求解．

解答： 解：（1）因为分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个…分母是n的分数有n-1个，
所以分数一共有1+2+3+4+…+（n-1）=

n(n-1)

2

，

29×(29-1)

2

=406；
则第407个分数是

1

30

．
答：第407个分数是

1

30

．

（2）第407个分数是

1

30

，第29个分数就是

28

29

，

1

2

+（

1

3

+

2

3

）+（

1

4

+

2

4

+

3

4

）+（

1

5

+

2

5

+

3

5

+

4

5

）+…（

1

29

+

2

29

+…

28

29

）+

1

30

=

1

2

+

2

2

+

3

2

+

4

2

+…+

28

2

+

1

30

=

(1+28)×28÷2

2

+

1

30

=203+

1

30

=203

1

30

答：从

1

2

开始，前407个分数的和是203

1

30

．

点评：解答此题的关键是根据给出的数列，归纳总结出规律，再根据规律解决问题．