题目内容
【题目】全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市
年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值（满分
分）进行了统计，制成如图所示的散点图：
（1）根据散点图，建立
关于
的回归方程
；
（2）从该市的市民中随机抽取了容量为
的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为
，以频率为概率，若从这
名市民中随机抽取
人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为
，求
的分布列和数学期望.
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 
.
【答案】（1）
（2）分布列见解析， 
【解析】试题分析：（1）根据散点图及平均数公式可求出
与
的值可得样本中心点的坐标，从而求可得公式
中所需数据，求出
，再结合样本中心点的性质可得
，进而可得
关于
的回归方程；（2）从这
名市民中随机抽取
人， 
的可能取值为
，根据独立重复试验概率公式求出个随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得
的数学期望.
试题解析：（1）由题， 
，
则
.
.
则
.
所以运动参与
关于
的回归方程是
.
（2）以频率为概率，从这
名市民中随机抽取
人，经常参加体育锻炼的概率为
，由题， 
的可能取值为
.
则
.
分布列如下：
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数学期望
或
.
【方法点晴】本题主要考查散点图的应用和线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算
的值；③计算回归系数
；④写出回归直线方程为
； 回归直线过样本点中心
是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
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