Question

把一些棱长2厘米的立方体摆成下面的形状．

摆放层数	1	2	3	4	5	…	10
立方体个数/个	l	4
表面积/平方厘米	24
体积/立方厘米	8

Answer 1

分析：（1）观察图形可知，第一个图形有一层，小正方体个数是1个；第二个图形有2层，小正方体个数是1×2+2×1个；第三个图形有3层，小正方体个数是1×3+2×2+3×1个；第四个图形是4层，小正方体个数是1×4+2×3+3×2+4×1…，据此可得，第n个图形有n层，小正方体个数是：1×n+2×（n-1）+3×（n-2）+…+（n-1）×2+n×1，据此即可解答问题．
（2）因为小正方体的棱长是2厘米，观察图形可知，1层时，只有1个正方体，表面积是棱长为2厘米的正方体的表面积；2层时，表面积是棱长为2×2=4厘米的正方体的表面积；3层时，表面积是棱长为2×3=6厘米的正方体的表面积；…10层时，表面积是棱长为2×10=20厘米的正方体的表面积；据此利用正方体的表面积公式计算即可解答；
（3）一个小正方体的体积是2×2×2=8立方厘米，根据（1）中求出的正方体的个数，即可求出拼成的图形的体积．

解答：解：（1）根据题干分析可得：第一个图形有一层，小正方体个数是1个；
第二个图形有2层，小正方体个数是1×2+2×1=4；
第三个图形有3层，小正方体个数是1×3+2×2+3×1=10；
第四个图形是4层，小正方体个数是1×4+2×3+3×2+4×1=20…，
则第n个图形有n层，小正方体个数是：1×n+2×（n-1）+3×（n-2）+…+（n-1）×2+n×1，
当n=5时，小正方体个数是1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=45；
当n=10时，小正方体个数是：1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=220；

（2）1层时，只有1个正方体，表面积是棱长为2厘米的正方体的表面积：2×2×6=24（平方厘米）；
2层时，表面积是棱长为2×2=4厘米的正方体的表面积：4×4×6=96（平方厘米）；
3层时，表面积是棱长为2×3=6厘米的正方体的表面积：6×6×6=216（平方厘米）；
4层时，表面积是棱长为2×4=8厘米的正方体的表面积：8×8×6=384（平方厘米）；
5层时，表面积是棱长为2×5=10厘米的正方体的表面积：10×10×6=600（平方厘米）；
10层时，表面积是棱长为2×10=20厘米的正方体的表面积：20×20×6=2400（平方厘米）；

（3）一个小正方体的体积是2×2×2=8（立方厘米），
1层，小正方体个数是1，体积是8立方厘米；
2层，小正方体个数是4，8×4=32（立方厘米）；
3层，小正方体个数是10，体积是8×10=80（立方厘米）；
4层，小正方体个数是20，体积是8×20=160（立方厘米）；
5层，小正方体个数是45，体积是8×45=360（立方厘米）；
10层，小正方体个数是220，体积是8×220=1760（立方厘米），据此完成表格如下：

摆放层数	1	2	3	4	5	…	10
立方体个数/个	l	4	10	20	45	…	220
表面积/平方厘米	24	96	216	384	600	…	2400
体积/立方厘米	8	32	80	160	360	…	1760

点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．