题目内容
走进美妙数学花园比赛每天考三道题每题的评分是0、1、2、3、4、5、6、7，有一群学生每人得分的乘积都是36，而且任意两人各题得分不相同，那么这群学生最多有多少人？
考点：最大与最小
专题：传统应用题专题
分析：先由每题的评分是0，1，2，3，4，5，6，7及这一群学生每人得分的乘积是36，可知每一道题的评分只可能是1，2，3，4，6，而不会有0，5，7，再将36分解成3个数的乘积，然后根据任意两人各题得分不完全相同，即可求解．
解答：
解：因为每天考3道题，每题的评分是0，1，2，3，4，5，6，7，有一群学生每人得分的乘积是36，
所以这一群学生每人每题的评分只可能是1，2，3，4，6，而不会有0，5，7，
因为36=22×32，
所以36=1×6×6=2×3×6=3×3×4．
因为任意两人各题的得分不完全相同，
所以得分的乘积是1×6×6的学生可能是第一题得1分，第二题、第三题都得6分；可能是第二题得1分，第一题、第三题都得6分；可能是第三题得1分，第一题、第二题都得6分；一共三种情况，对应三个人；
同理，得分的乘积是2×3×6的学生最多可能有6人；得分的乘积是3×3×4的学生最多可能有3人；
所以这群学生最多有3+6+3=12（人）．
答：这群学生最多有12人．
所以这一群学生每人每题的评分只可能是1，2，3，4，6，而不会有0，5，7，
因为36=22×32，
所以36=1×6×6=2×3×6=3×3×4．
因为任意两人各题的得分不完全相同，
所以得分的乘积是1×6×6的学生可能是第一题得1分，第二题、第三题都得6分；可能是第二题得1分，第一题、第三题都得6分；可能是第三题得1分，第一题、第二题都得6分；一共三种情况，对应三个人；
同理，得分的乘积是2×3×6的学生最多可能有6人；得分的乘积是3×3×4的学生最多可能有3人；
所以这群学生最多有3+6+3=12（人）．
答：这群学生最多有12人．
点评：本题考查了质因数分解及排列组合，属于竞赛题型，有一定难度，根据题意得出本题是将36分解成大于0且小于7的3个正整数的乘积是解题的关键．
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