Question

用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿梭的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体（如图）的表面积是多少？

Answer 1

考点：图形的拆拼（切拼）

专题：立体图形的认识与计算

分析：（1）①设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x≥z≥y，它们只能取正整数．长方体的体积是455，则有x×y×z=455，分解455=5×7×13，即：x×y×z=5×7×13；②沿棱拆下的小正方体有455-371=84个，若认为从“长”边拆下的小正方体为（x-1）个，则从每个“宽”边拆下的小正方体为（y-1）个，而从每个“高”边拆下的小正方体为（z-2）个，应当有下面关系式：4×（x-1+y-1+z-2）=84，x+y+z=25，剪出求出x、y、z的正整数解即可解答问题；
（2）如图，拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分组成：
第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是：2×（11×5+11×3+5×3）=206．
第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：8×（11+3+5）=152．把这两部分面积加起来即可解答．

解答： 解：（1）①设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x≥z≥y，它们只能取正整数．长方体的体积是455，则有x×y×z=455，分解455=5×7×13，即：x×y×z=5×7×13；
②沿棱拆下的小正方体有455-371=84个，若认为从“长”边拆下的小正方体为（x-1）个，则从每个“宽”边拆下的小正方体为（y-1）个，而从每个“高”边拆下的小正方体为（z-2）个，应当有下面关系式：4×（x-1+y-1+z-2）=84，x+y+z=25，．
既然x，y，z只取正整数，验证x=13，z=7，y=5是唯一解．
答：所粘成的大长方体的棱长分别是13、7、5．

（2）第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是：2×（11×5+11×3+5×3）=206．
第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：8×（11+3+5）=152．
206+152=358
答：这个长方体的表面积是358．

点评：解答此题的关键是求出这个长方体的长宽高的值，求它的表面积时，也可以这样思考：拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同（想像一下为什么）．所以，2×（13×7+13×5+7×5）-3×8=358．