Question

1997个数排成一行，除两头的两个数之外，其余每数的3倍恰好等于与它相邻前后两数之和，这一行数最左边的几个数是：0，1，3，8，…，问最右边那个数除以6余几？

Answer 1

分析：设相邻的三个数为a_n-1，a_n，a_n+1．根据题设有3a_n=a_n-1+a_n+1，所以a_n+1=3a_n-a_n-1．
设a_n=6q₁+r₁，a_n-₁=6q₂+r₂．则
a_n+1=3×（6q₁+r₁）-6q₂+4₂
=6（3q₁-q₂）+（3r₁-r₂）；
由此可知，a_n+1除以6的余数等于（3r₁-r₂）除以6的余数．所以这一行数中被6除的余数分别为：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，
可以发现，12个数为一个循环，所以
1997÷12=166…5，
由此可知第1997个数除以6余3．

解答：解：设相邻的三个数为a_n-1，a_n，a_n+1．根据题设有3a_n=a_n-1+a_n+1，所以a_n+1=3a_n-a_n-1．
设a_n=6q₁+r₁，a_n-₁=6q₂+r₂．则
a_n+1=3×（6q₁+r₁）-6q₂+4₂
=6（3q₁-q₂）+（3r₁-r₂）
由此可知，a_n+1除以6的余数等于（3r₁-r₂）除以6的余数．
这一行数是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，6765，17711，46368，121393，317811，832040，2178309，5702887，14930352，39088169，102334155，267914296，701408733，1836311903…
所以这一行数中被6除的余数分别为：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，
可以发现，12个数为一个循环，所以
1997÷12=166…5，
由此可知第1997个数除以6余3．

点评：此题考查了学生带余除法的运算、排列组合的有关知识，以及分析判断的能力．