题目内容
设n是小于50的自然数，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公约数的所有n的可能值之和为
94
94
．分析：此题可以通过设公约数这个参数，将参数值求出，进而得出n的值．
解答：解：设4n+5和7n+6的公约数为k
则（4n+5）÷k为整数，（7n+6）÷k为整数，
为了作差后消去n，则左边的式子乘上7，右边的式子乘上4，结果还是都为整数，
则[7（4n+5）-4（7n+6）]÷k=11÷k为整数，
因为k≠1，则11÷k为整数时k只能为11，即两代数式大于1个公约数为11，
又因为[2（4n+5）-（7n+6）]÷k为整数，[这里（4n+5）乘上2来作差是为了让n的系数变为1方便筛选]
代入k=11，有（n+4）÷11为整数
因为n＜50
则n=7，18，29，40．
7+18+29+40=94．
故所有n的可能值之和为94．
故答案为：94．
则（4n+5）÷k为整数，（7n+6）÷k为整数，
为了作差后消去n，则左边的式子乘上7，右边的式子乘上4，结果还是都为整数，
则[7（4n+5）-4（7n+6）]÷k=11÷k为整数，
因为k≠1，则11÷k为整数时k只能为11，即两代数式大于1个公约数为11，
又因为[2（4n+5）-（7n+6）]÷k为整数，[这里（4n+5）乘上2来作差是为了让n的系数变为1方便筛选]
代入k=11，有（n+4）÷11为整数
因为n＜50
则n=7，18，29，40．
7+18+29+40=94．
故所有n的可能值之和为94．
故答案为：94．
点评：考查了公约数与公倍数问题，此题关键是设公约数这个参数．
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