Question

在下面每个方格中填入一个数时，使得下列等式成立，并且要求每个等式的三个分母互质：
（1）

1

□□

+

1

18

=

1

□□

（2）

1

□□

+

1

21

=

1

□□

．

Answer 1

考点：横式数字谜

专题：填运算符号、字母等的竖式与横式问题

分析：（1）设

1

b

+

1

18

=

1

a

，10≤a＜18，可得

b-a

ab

=

1

18

，所以ab=18（b-a），然后根据a的取值，判断出b的取值，再根据每个等式的三个分母互质判断即可；
（2）设

1

n

+

1

21

=

1

m

，10≤m＜20，可得

n-m

mn

=

1

21

，所以mn=21（n-m），然后根据m的取值，判断出n的取值，再根据每个等式的三个分母互质判断即可．

解答： 解：（1）设

1

b

+

1

18

=

1

a

，10≤a＜18，
可得

b-a

ab

=

1

18

，
所以ab=18（b-a），
①当a=10、11、13时，b没有整数解；

②当a=12时，可得12b=18（b-12），
解得b=36，
因为12、18、36的最大公约数是6，
所以不符合题意；

③当a=14时，可得14b=18（b-14），
解得b=63，
因为14、18、63的最大公约数是1，
所以符合题意，
因此

1

63

+

1

18

=

1

14

；

④当a=15时，可得15b=18（b-15），
解得b=90，
因为15、18、90的最大公约数是3，
所以不符合题意；

⑤当a=16时，可得16b=18（b-16），
解得b=144，b是三位数，
所以不符合题意；

⑥当a=17时，可得17b=18（b-17），
解得b=306，b是三位数，
所以不符合题意．
综上，可得

1

63

+

1

18

=

1

14

．

（2）设

1

n

+

1

21

=

1

m

，10≤m＜20，
可得

n-m

mn

=

1

21

，
所以mn=21（n-m），
①当m=10、11、13、15、16、17、19时，n没有整数解；

②当m=12时，可得12n=21（n-12），
解得n=28，
因为12、21、28的最大公约数是1，
所以符合题意，
因此

1

28

+

1

21

=

1

12

；

③当m=14时，可得14n=21（n-14），
解得n=42，
因为14、21、42的最大公约数是7，
所以不符合题意；

④当m=18时，可得18n=21（n-18），
解得n=126，n是三位数，
所以不符合题意；

⑤当m=20时，可得20n=21（n-20），
解得n=420，n是三位数，
所以不符合题意．
综上，可得

1

28

+

1

21

=

1

12

．

故答案为：63、14、28、12．

点评：此题主要考查了横式数字谜问题的应用，解答此题的关键是判断出每个等式的未知的两个分母的关系，并根据每个等式的三个分母互质，求出每个等式的未知的两个分母的值是多少即可．