题目内容
1到100所有自然数中与100互质各数之和是多少？
分析：因为100=2×2×5×5，所以1到100中，与100互质的所有自然数应是除5的倍数之外的所有奇数，因此根据高斯求和公式求出1～100的所有奇数之和之后，再减去1～100所有5的倍数的和即是1到100中，与100互质的所有自然数之和．
解答：解：因为100=2×2×5×5，所以1到100中，与100互质的所有自然数应是除5的倍数之外的所有奇数；
从1到99的连续奇数（包括5的倍数）一共有50个，这50个连续奇数的和是：
1+3+5+7+…+93+95+97+99
=（1+99）×50÷2，
=2500．
100以内的奇数中，5的倍数有5的1倍、3倍、5倍…17倍、19倍，共10个数，这十个数的各是：
5×（1+3+5+…+17+19）
=5×（1+19）×10÷2，
=500；
所以，符合条件的各个数的和是：2500-500=2000．
答：1到100中，与100互质的所有自然数之和是2000．
从1到99的连续奇数（包括5的倍数）一共有50个，这50个连续奇数的和是：
1+3+5+7+…+93+95+97+99
=（1+99）×50÷2，
=2500．
100以内的奇数中，5的倍数有5的1倍、3倍、5倍…17倍、19倍，共10个数，这十个数的各是：
5×（1+3+5+…+17+19）
=5×（1+19）×10÷2，
=500；
所以，符合条件的各个数的和是：2500-500=2000．
答：1到100中，与100互质的所有自然数之和是2000．
点评：本题考查了约数与倍数，将100分解质因数得出1至100中，与100互质的所有自然数应是5的倍数之外的所有奇数是完成本题的关键．
练习册系列答案
相关题目