Question

已知函数f（x）=

2x+1

2x-1

．
（1）解不等式：1-

1

f(x)

＞

1

4x-1

；
（2）判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性，并利用函数单调性的定义进行证明．

Answer 1

考点：不等方程的分析求解

专题：传统应用题专题

分析：（1）把f（x）=

2x+1

2x-1

代入得到不等式，然后化简为：2＞

1

2x-1

，所以x为任意实数且x≠0
（2）在（-∞，0）上任取两本不同的量，判断函数值的大小，函数值随着自变量的增大而减小时，我们称该函数为减函数，否则为增函数．据此解答即可．

解答： 解：因为：
函数f（x）=

2x+1

2x-1

（1）所以：
1-

1

f(x)

＞

1

4x-1

1-

2x-1

2x+1

＞

1

4x-1

2

2x+1

＞

1

2x-1

×

1

2x+1

因为

1

2x+1

＞0
所以：
2＞

1

2x-1

所以x为任意实数且x≠0
（2）设0＞a＞b
则：f（a）-f（b）
=

2a+1

2a-1

-

2b+1

2b-1

=（

2b+1

2a-1

-

2a+1

2a-1

）

1

2b-1

因为0＞a＞b
所以2^b+1＜2^a+1＜1
故此（2^a-1）（2^b-1）＞0
所以：f（a）-f（b）＜0
所以f（a）＜f（b）
所以函数f（x）在（-∞，0）上是减函数．

点评：本题考查不能是的解法及其判断函数的单调性：函数值随着自变量的增大而减小时，我们称该函数为减函数，否则为增函数．