Question

直线可以把一个平面分成两个区域（如图①），两条直线最多可以把平面分成4个区域（如图②），那么5条直线最多可以把一个平面分成多少个区域？10条呢？

Answer 1

考点：图形划分

专题：几何的计算与计数专题

分析：首先根据1条直线可以把一个平面分成2个区域，2=

1×2

2

+1，两条直线最多可以把平面分成4个区域，4=

2×3

2

+1，3条直线最多可以把平面分成7个区域，7=

3×4

2

+1，4条直线最多可以把平面分成11个区域，11=

4×5

2

+1，…，总结出n条直线最多可以把平面分成

n(n+1)

2

+1个区域；然后把n=5、10代入，求出5条直线、10条直线最多可以把一个平面分成多少个区域即可．

解答： 解：1条直线可以把一个平面分成2个区域，2=

1×2

2

+1，
两条直线最多可以把平面分成4个区域，4=

2×3

2

+1，
3条直线最多可以把平面分成7个区域，7=

3×4

2

+1
4条直线最多可以把平面分成11个区域，11=

4×5

2

+1，
…
所以n条直线最多可以把平面分成

n(n+1)

2

+1个区域，
因此5条直线最多可以把一个平面分成区域的数量为：

5×6

2

+1=16(个)；
因此10条直线最多可以把一个平面分成区域的数量为：

10×11

2

+1
=55+1
=56（个）
答：5条直线最多可以把一个平面分成16个区域，10条直线最多可以把一个平面分成56个区域．

点评：此题主要考查了图形划分问题的应用，解答此题的关键是总结出：n条直线最多可以把平面分成

n(n+1)

2

+1个区域．