Question

菲菲分别统计A的约数个数，A的2倍的约数个数，A的3倍的约数个数，…A的10倍的约数个数后得到下表．如果这个表中只有一处统计错了，那么整数A是

 

． 

算式	A	2×A	3×A	4×A	5×A	6×A	7×A	8×A	9×A	10×A
约数个数	24	30	36	36	48	45	32	42	49	60

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：整除性问题

分析：首先根据题意，分别判断出A到2A、3A、…、8A，约数增加的个数，进而判断出A的质因数的情况，进而求出A的值是多少；然后根据A的取值情况，逐一判断出A、2A、3A、…、9A的约数个数，判断出9×A的约数个数统计错误，进而验证出A的准确性即可．

解答： 解：根据分析，可得
（1）A到2A时，增加1个质因数2，约数增加30-24=6（个），所以A必有质因数2，
（2）A到3A时，增加1个质因数3，约数增加36-24=12（个），所以A必有质因数3，
（3）A到4A时，增加2个质因数2，约数增加36-24=12（个），所以A必有质因数2，
（4）A到5A时，增加1个质因数5，约数增加48-24=24（个），约数增加一倍，所以A没有质因数5，
（5）A到6A时，增加1个质因数2和1个质因数3，约数增加45-24=21（个），所以A必有质因数2和3，
（6）A到7A时，增加1个质因数7，约数增加（32-24=8）8个，所以A必有质因数7，
（7）A到8A时，增加3个质因数2，约数增加（42-24=18）18个，所以A必有分解质因数2，
…
（8）A到2A，4A，8A过程中，
约数个数分别增加6个、12个、18个，
那么24=4×6或者24=4×2×3，
A中必有一个因数为2³；
（9）A到7A过程中，约数个数增加8个，
A中有一个因数为7²，另一个质因数是3；
所以可得：
A=2³×3×7²，A的约数个数：
（3+1）×（1+1）×（2+1）
=4×2×3
=24（个）；

2A=2⁴×3×7²，2×A约数的个数：
（4+1）×（1+1）×（2+1）
=5×2×3
=30（个）

3A=2³×3²×7²，3×A约数的个数：
（3+1）×（2+1）×（2+1）
=4×3×3
=36（个）

4A=2⁵×3×7²，4×A约数的个数：
（5+1）×（1+1）×（2+1）
=6×2×3
=36（个）
…
9A=2³×3³×7²，9×A约数的个数：
（3+1）×（3+1）×（2+1）
=4×4×3
=48（个）
所以9A的约数的个数统计错误，应该是48个，不是49个，
因此A=2³×3×7²=1176．
故答案为：1176．

点评：此题主要考查了约数个数问题的应用，解答此题的关键是判断出A到2A、3A、…、8A，约数增加的个数，进而判断出A的质因数的情况．