Question

我们规定：△n=n×n+l），比如：△l=l×2，△2=2×3，△3=3×4．请问：
（1）如果要使等式

1

△1

+

1

△2

+

1

△3

+…+

1

△99

=

□

△100

成立，那么方框内应填入什么数？
（2）计算：△1+△2+△3+…+△100．

Answer 1

考点：定义新运算

专题：计算问题（巧算速算）

分析：（1）将式子

1

△1

+

1

△2

+

1

△3

+…+

1

△99

变形为

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

99×100

，再拆项抵消即可求解；
（2）将△1+△2+△3+…+△100变形为l×2+2×3+3×4+…+100×101，再根据1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）进行计算即可求解．

解答： 解：（1）

1

△1

+

1

△2

+

1

△3

+…+

1

△99

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

99×100

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

99

-

1

100

=1-

1

100

=

99

100

．
答：方框内应填入99．

（2）△1+△2+△3+…+△100
=l×2+2×3+3×4+…+100×101
=

1

3

×100×101×102
=343400．

点评：此题考查定义新运算，搞清运算的顺序与计算方法是解答的前提．注意拆项法和抵消法的灵活运用．