Question

12．如图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的．仔细观察后，请回答：
（1）五层的“宝塔”最下层包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n层呢？
（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？六层呢？七层呢？n层呢？

Answer 1

分析 （1）第一个图形的最下面一层是1个三角形，第二个图形最下面的一层是1+2个三角形，第三个图形最下面的一层是1+2+3个三角形，…则第n个图形的最下面的一层就是1+2+3+…+n个三角形，据此即可 解答问题．
（2）第一个图形有1层，有1=1²个三角形，第二个图形有2层，有1+3=2²个三角形，第三个图形有3层，有1+3+5=3²个三角形，第三个图形有4层，有1+3+5+7=4²个三角形，据此推测第n个图形有n层，有1+3+5+7+…+（2n-1）=n²个三角形．

解答 解：（1）1+2+3+4+5=15
15+6=21
21+7=28
第n个图形的最下面的一层就是1+2+3+…+n个三角形．
答：五层的“宝塔”最下层包含15个小三角形，六层有21个，七层有28个，n层有1+2+3+…+n个．

（2）5²=25
6²=36
7²=49
第n个图形有n层，有1+3+5+7+…+（2n-1）=n²个三角形．
答：整个五层“宝塔”一共包含25个小三角形，六层有26个，七层有49个，n层有n²个．

点评 解答本题的关键是：根据图形及其数列的变化规律求解即可．