Question

从1、2、3、…、2002、3003这2003个自然数中，取出若干个自然数，使其中任意两个自然数的和都不能被7整除，最多可以取

860

个数．

Answer 1

分析：首先得出能被7整除的数，从1开始，公差为7的满足题设条件的数，加上一个能被7整除的数，即可得出最多可以选出的数．

解答：解：这2003个数中，能被7整除的数，7、14、21、28、…2002，共有286个；
不能被7整除的数可以分成6类：
①被7除余数是1的数，1、8、15、22、…、2003，共有287个；
②被7除余数是2的数，2、9、16、23、…、1997，共有286个；
③被7除余数是3的数，3、10、17、24、…、1998，共有286个；
④被7除余数是4的数，4、11、18、25、…、1999，共有286个；
⑤被7除余数是5的数，5、12、19、26、…、2000，共有286个；
⑥被7除余数是6的数，6、13、20、27、…、2001，共有286个；
将被7除余1，余2，余3的三组数全部取出，它们之中任意两个数的和都不能被7整除，还可以从能被7整除的一组中任取1个数，与上述取出的数任意一个数的和也不能被7整除，
所以最多可取出287+286×2+1=860个数，
答：最多可以取出860个数．
故答案为：860．

点评：本题考查数的整除性的知识，难度较大，关键是掌握满足条件的数的特征，然后有的放矢的进行解答．注意不要漏解．