Question

用写有+1和-1的长方块放在10×n方格中，使得每一列和每一行的数的乘积都是正的，n的最小值是多少？

Answer 1

分析：由题意可得：每一列，每一行的-1的个数都是偶数个，所以，整个方格中的-1的个数是偶数个，而-1的个数就是长方块的个数．所以可设有2m个长方块．每个长方块占2个格．当长方块放满的时候，10n=4m，5n=2m，所以n=2k，m=5k，k=1，2，3，…然后从最小的2开始进行讨论，得出符合题意的答案．

解答：解：每一列，每一行的-1的个数都是偶数个，所以，整个方格中的-1的个数是偶数个，而-1的个数就是长方块的个数．所以可设有2m个长方块．每个长方块占2个格．
当长方块放满的时候，10n=4m，5n=2m，所以n=2k，m=5k，k=1，2，3，…
最小的n=2，但是，若n=2，m=5，长方块不能水平放置，竖直放置5个长方块，每一列恰好5个-1，不可能满足要求的情况．
n=4，m=10，如图．每个长方块都是水平放置+1，在左边，-1在右边即可．

答：n的最小值是4．

点评：由题意得出：每一列，每一行的-1的个数都是偶数个，所以，整个方格中的-1的个数是偶数个，而-1的个数就是长方块的个数，是解题关键．