Question

17．在长方形ABCD-EFGH中，已知从点F出发的三条棱EF、BF、FG的长度之比为3：4：3，该长方体的棱长的总和为80cm，求：
（1）与平面CGHD垂直的棱长总和；
（2）与平面ABFE平行的棱长总和．

Answer 1

分析 因为在长方体中相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，及该长方体的棱长的总和长度和从点F出发的三条棱EF、BF、FG的长度之比为3：4：3，可求出相交于F点的三条棱EF、BF、FG的长度．根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱，再根据长方体的棱与棱的位置关系（平行、垂直、异面），直接观察图形找出符合条件的棱求出其总和即可解答．

解答 解：80÷4=20
EF长：20×$\frac{3}{3+4+3}$=20×$\frac{3}{10}$=6（厘米）
BF长：20×$\frac{4}{3+4+3}$=20×$\frac{4}{10}$=8（厘米）
FG长：20×$\frac{3}{3+4+3}$=20×$\frac{3}{10}$=6（厘米）
（1）与棱平面CGHD垂直的棱是：棱EH、棱FG、棱BC、棱AD，其长度和是：6+6+6+6=24（厘米）．
答：与平面CGHD垂直的棱长总和是24厘米．
（2）与平面ABFE平行的棱是：棱GC、棱GH、棱CD、棱HD，其长度和是：8+6+8+6=28（厘米）
答：与平面ABFE平行的棱长总和是28厘米．

点评 此题主要考查比的应用和长方体的棱长总和公式的灵活运用．