Question

下列m个整数中恰有69个不同的整数，问自然数m的最小值和最大值分别是多少？
[

2009+1

1

]，[

2009+2

2

]，[

2009+3

3

]，…，[

2009+m

m

]．

Answer 1

考点：最大与最小,高斯取整

专题：竞赛专题,数性的判断专题

分析：由于[

2009+m

m

]=[

2009

m

]+1，故只要确定[

2009

m

]的值即可．
做带余除法：2009÷m=k…r（k为整数），可以发现：当m取1-47时，k的值都是一一对应，相互不同的；当m取48和49时，k的值都是41，此时第一次出现重复；此后，若m再增大，k就会减少，故k下一个不同的值应为40，再下一个为39，…也就是说，第48个商为41，那么第69个商应用41-（6948）=20．因此，只要找到2009÷m=20…r中，m的最大值与最小值即可．

解答： 解：由于[

2009+m

m

]=[

2009

m

]+1，故只要确定[

2009

m

]的值即可．
做带余除法：2009÷m=k…r（k为整数），可以发现：
当m取1-47时，k的值都是一一对应，相互不同的；
当m取48和49时，k的值都是41，此时第一次出现重复；
此后，若m再增大，k就会减少，故k下一个不同的值应为40，再下一个为39，…
也就是说，第48个商为41，那么第69个商应用41-（6948）=20．
因此，只要找到2009÷m=20…r中，m的最大值与最小值即可．
因为2009÷100=20…9，2009÷101=19…90，即m的最大值为100；
因为2009÷95=21…14，2009÷96=20…89，即m的最小值为96．
答：自然数m的最小值是96，最大值是100．

点评：此题运用了带余除法以及数论结合的方法解决问题．