Question

一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：这个偶数是多少？

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：整除性问题

分析：首先根据约数个数的计算方法，得出所含数个数的可能性，进一步从最小的质数分析探讨得出答案即可．

解答： 解：6=2×3=（1+1）×（1+2），
因此，要让这个偶数恰有6个约数不是3的倍数，那么这个偶数可以包含：2×5×5，
8=2×4=（1+1）×（1+3），8=1×8
因此，要让这个偶数恰有8个约数不是5的倍数，那么这个偶数可以包含：2×3×3×3，2×2×2×2×2×2×2，
这样，同时满足上两个条件的最小公倍数是：
2×5×5×3×3×3=1350，或2×2×2×2×2×2×2×5×5=3200（不是3的倍数有24个不合题意舍去）；
所以这个偶数是1350．

点评：此题主要利用约数个数的计算方法：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数（次数）加1后所得的乘积．