Question

如图，在等边三角形ABC上有两个动点D、E，动点D从A出发到B，每秒移动1厘米，动点E以每秒4厘米的速度在AC间往返运动．D、E两点同时从A点出发，随时连结DE两点，在D由A到B的这段时间内，线段DE与三角形的一部分构成的最小梯形面积是18平方厘米（图中阴影部分）．三角形ABC的面积是多少平方厘米？

Answer 1

分析：要使线段DE与三角形ABC的一部分构成梯形，就要满足DB=EC这个条件．假设D、E都在同一条边上走只有他们相遇时，才满足DB=EC，此时问题转化为：D、E两点在AB上运动，D的速度为1厘米/秒，E的速度为4厘米/秒，在D由A到B的这段时间内，D、E相遇几次，分别在什么位置？如图：

因为E的速度是D的速度的4倍，所以在D由A到B的这段时间内，E应该走4个AB的长度，即D、E相遇4次．第一次在A点处（E走第一遍AB）；第二次在距A点2份的地方，即AB的

2

5

处（E走第二遍AB）；第三次在距A3

1

3

处，即全程

2

3

处（E走第三遍AB）；第四次在距A点4份处，即全程的

4

5

处（E走第四遍AB），

构成梯形面积最小，应该是第四次相遇时，即D、E点距A的路程为AB

4

5

时，这时梯形的面积为18平方厘米．我们利用“等分图形”的思路来解答（如图3）．从图3中，很容易看出梯形面积为三角形ABC面积

9

25

，三角形ABC的面积为18÷

9

25

=50（平方厘米）

解答：解：
要将时问题转化为：D、E两点在AB上运动，D的速度为1厘米/秒，E的速度为4厘米/秒，在D由A到B的这段时间内，D、E相遇几次，分别在什么位置？
因为E的速度是D的速度的4倍，所以在D由A到B的这段时间内，E应该走4个AB的长度，即D、E相遇4次．当D运到到时，E正好行完4个全程，则构成梯形面积最小，应该是第四次相遇时，即D、E点距A的路程为AB

4

1+4

=

4

5

时，这时梯形的面积为18平方厘米．将图形等分为25份（如图3）．

从梯形面积为三角形ABC面积

9

25

，三角形ABC的面积为：18÷

9

25

=50（平方厘米）．
答：三角形的面积是50平方厘米．

点评：将本题转化为相遇问题进行分析解答本题的关键．