Question

对于四位数：

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abcd

，若存在质数P和正整数K，使得：a×b×c×d=P^K，且：a+b+c+d=P^P-5．求这样的四位数的最小值，并说明理由．

Answer 1

考点：最大与最小

专题：传统应用题专题

分析：要使a+b+c+d=P^P-5的值最小，P应当最小，显然，P=2时不合要求，否则2²-5是负数，所以p最小为3，此时a+b+c+d=P^P-5=22，a×b×c×d=3^K，要使四位数的最小值，先使a=1，那么b+c+d=22-1=21，又因为3^K是3
的倍数并且不含有3以外的因数，所以b、c、d一定是都3的倍数，21=3×7=3×（1+3+3）=3+9+9，所以这样的四位数最小是1399；据此解答．

解答： 解：要使a+b+c+d=P^P-5的值最小，P应当最小，
显然，P=2时不合要求，否则2²-5是负数，
所以p最小为3，此时a+b+c+d=P^P-5=22，a×b×c×d=3^K，
要使四位数的最小值，a在最高位，最小为：a=1，那么b+c+d=22-1=21，
又因为3^K一定是3的倍数并且不含有3以外的因数，所以b、c、d一定是都3的倍数，每个数也不含有3以外的因数；
则：21=3×7=3×（1+3+3）=3+9+9，
所以这样的四位数最小是1399．

点评：本题关键是先确定最高位为1，再确定其它每个数位上的数只有因数3，没有其它因数．