Question

把1～12这12个自然数填入图中的小圆内，每个数都要用到，且每边上的四个数的和相等，求这个和的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）假设四个角上的数是a、b、c、d，每条边上三个数的和是k，则有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+a+b+c+d=4k，78+a+b+c+d=4k，[78+（a+b+c+d）]÷4=k，k是整数，所以要使这个和最小，则a、b、c、d，必须分别为1、2、3、4这时a+b+c+d=1+2+3+4=10，此时k=（78+10）÷4=22；
（2）要使这个和最大，a、b、c、d，必须分别为9、10、11、12、这时a+b+c+d=9+10+11+12=42，k=（78+42）÷4=120÷4=30．

解答：解：（1）设四个角上的数是a、b、c、d，每条边上三个数的和是k，
则，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+a+b+c+d=4k，78+a+b+c+d=4k，[78+（a+b+c+d）]÷4=k，k是整数，
所以要使这个和最小，则a、b、c、d，必须分别为1、2、3、4，
a+b+c+d=1+2+3+4=10，
此时k=（78+10）÷4=22；

（2）当a、b、c、d，分别为9、10、11、12、这时a+b+c+d=9+10+11+12=42，
k=（78+42）÷4=120÷4=30；
此时k的值最大，

答：这个和的最小值是22；最大值是30．

点评：解答此类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系，此题的关键数字是四个角上的数．