Question

从1至100这100个数中选出一些数，如果任意三个数之和都能被7整除，共有多少种不同的组合方法？

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：在1至100这100个数中能被7整除的有14个，它们的和也能被7整除，被7整除3个余数相加和得7的数也能被7整除，据此进而解答即可．

解答： 解：在1至100这100个数中，
100÷7=14…2
99÷7=14…1
98÷7=14
97÷7=13…6
96÷7=13…5
95÷7=13…4
94÷7=13…3
∴1---100中能被7整除的数有14个，其中任取3个之和也能被7整除，共有C（3，14）=364种组合
1---100中能被7整除余1的数有14个；
1---100中能被7整除余2的数有14个；
1---100中能被7整除余3的数有13个；
1---100中能被7整除余4的数有13个；
1---100中能被7整除余5的数有13个； 
1---100中能被7整除余6的数有13个；
余数0+1+6，0+2+5，0+3+4，1+1+5、1+2+4，1+3+3；2+2+3之和也能被7整除；
取余0的数1个+余1的数1个+余6的数1个它们的和也能被7整除，有14×14×13=2548种组合；
取余0的数1个+余2的数1个+余5的数1个它们的和也能被7整除，有14×14×13=2548种组合；
取余0的数1个+余3的数1个+余4的数1个它们的和也能被7整除，有14×13×13=2366种组合；
取余1的数2个+余5的数1个它们的和也能被7整除，有（14，2）×（13，1）=91×13=1183种组合；
取余1的数1个+余2的数1个+余4的数1个它们的和也能被7整除，有14×14×13=2548种组合；
取余1的数1个+余3的数2个它们的和也能被7整除，有14×78=1092种组合；
余2的数2个+余3的数1个它们的和也能被7整除，有91×13=1183种组合；
共计有364+2548+2548+2366+1183+2548+1092+1183=13832种组合；
答：共有13832种不同的组合方法．

点评：本题考查的是数的整除问题．若三数的和能被7整除，则这个三个数能被7整除；被7整除，3个余数相加和得7的数也能被7整除．