Question

电梯在一座十一层的楼房内上下运行．到二楼时，如果有人上或下，管理员就在盒内放入一个小球；到三楼时，如果有人上或卞就放两个小球；到四楼时，如果有人上或下就放三个小球；…以此类推，并且这个规律不变．如果无人上或下，则不放小球．一次，电梯从一楼开始上行到达顶层时，共有四层楼无人上或下，管理员共放了25个小球，请问：有哪几层楼无人上或下？简要说明你的理由．

Answer 1

分析：容易知道，电梯到达几楼时，如果有人上或下，那么所放小球的数量就比楼层数少1．现在有4层楼无人上或下，如果每层楼都有人上或下，根据放球的规则，应放小球：1+2+3+…+8+9+10=55（个），但实际上只放了25个小球，比较可知，一共少放了55-25=30（个）球．当然，少放30个球的原因是有4层楼无人上或下，所以想到可以把30分解为1～10之间三个不同数的和：30=3+8+9+10=4+7+9+10=5+6+9+10=5+7+8+10=6+7+8+9，根据相应的结果，可以知道分别是哪四层楼无人上或下．

解答：解：根据放球的规则，应放小球：
1+2+3+…+8+9+10=55（个），
但实际上只放了25个小球，
一共少放了：55-25=30（个）球，
少放30个球的原因是有4层楼无人上或下，
所以，想到可以把30分解为1～10之间三个不同数的和：
30=3+8+9+10=4+7+9+10=5+6+9+10=5+7+8+10=6+7+8+9，
根据相应的结果，可以知道分别是哪四层楼无人上或下，
（1）四层、九层、十层、十一层，
（2）五层、八层、十层、十一层，
（3）六层、七层、十层，十一层，
（4）六层、八层、九层，十一层，
（5）七层、八层、九层、十层，
所以，一共有五种可能的情况，
但考虑到具体情况，如果第十一层楼没有人上下，那么电梯是不可能上到11楼的，
所以11楼一定有人上下，那么前面四种可能都被排除！
所以只有第（5）种情况符合实际，
答：七层、八层、九层、十层，四层楼无人上或下．

点评：解答此题的关键是，知道少放球的原因是有4层楼无人上或下，并能把少放球的个数，分解为1～10之间三个不同数的和．