Question

16．数列$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$，…
（1）$\frac{1}{10}$是第几个数？
（2）第400个数是几分之几？

Answer 1

分析 （1）分母是1的分数有1个，分子是1；
分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；
分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n-1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是10的分数一共有多少个；
分子是自然数，先从1增加，到分母相同时再减少到1；因此$\frac{1}{10}$在这个数列中应该有2个，求出第一个$\frac{1}{10}$是第几个即可；
（2）分母是1的分数有1个，分子是1；
分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；
分母是3的分数有4个，分子是1，2，3，1；
分母是4的分数有5个；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分数有n+1个（n＞1），由此规律进一步探究答案即可

解答 解：（1）分母是7的分数一共有；
2×7-1=13（个）；
从分母是1的分数到分母是10的分数一共：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
=（1+19）×10÷2
=200÷2
=100（个）；
那么从第100个分数开始依次是：$\frac{1}{10}$…$\frac{9}{10}$所以第一个$\frac{1}{10}$是第101个分数．
答：第一次出现的$\frac{1}{10}$是第101个分数；
（2）分母是3的分数有4个，分子是1，2，3，1；
分母是4的分数有5个；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分数有n+1个（n＞1）．
共有1+3+4+5+…+（n+1）=（n+1）×（n+2）÷2-2，
因为（26+1）×（26+2）÷2-2=376，
（27+1）×（27+2）-2=404，
第404个分数是$\frac{1}{27}$，向前推为第403个分数是$\frac{27}{27}$，第402个分数是$\frac{26}{27}$，第401个分数是$\frac{25}{27}$，第400个分数是$\frac{24}{27}$，所以这串数的第400个数是$\frac{24}{27}$．
答：第400个数是$\frac{24}{27}$．

点评 本题需要找出分数个数与分母之间的规律，还要找出分子的变化规律．