Question

13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，如下图所示的三角形数表，第一个三角形数表中有1个点，第二个三角形数表有3个点，第三个三角形数表有6个点，…将1、3、6、10…记为“三角形数”，那么第30个“三角形数”和和第28个“三角形数”的差是59．

Answer 1

分析 设此数列1，3，6，10，…的通项公式为a_n，可得a₂-a₁=3-1=2，a₃-a₂=6-3=3，a₄-a₃=10-6=4，…，利用等差数列的通项公式可得a_n+1-a_n=2+（n-1）=n+1，再利用“累加求和”即可得出a_n，分别求出第30个“三角形数”与第28个“三角形数”是多少，再相减即可．

解答 解：设此数列1，3，6，10，…的通项公式为a_n，
则a₂-a₁=3-1=2，a₃-a₂=6-3=3，a₄-a₃=10-6=4，…．
所以数列{a_n+1-a_n}是等差数列，首项为2，公差为1．
所以a_n+1-a_n=2+（n-1）=n+1，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
所以第30个“三角形数”为$\frac{30×（30+1）}{2}$=465，
第28个“三角形数”为$\frac{28×（28+1）}{2}$=406，
465-406=59．
故答案为：59．

点评 本题考查了等差数列的通项公式和“累加求和”等基础知识与基本技能方法，属于基础题．