Question

设1，2，3，…，9的任一排列为a₁，a₂，…，a₉．求证：（a₁-1）（a₂-2）…（a₉-9）是一个偶数．

Answer 1

考点：奇偶性问题

专题：奇数偶数问题

分析：由（a₁-1）+（a₂-2）+（a₃-3）+…+（a₉-9）=（a₁+a₂+…+a₉）-（1+2+…+9）=0是偶数，可得（a₁-1），（a₂-2），…，（a₉-9）这9个数中必定有一个是偶数，从而可证明之．

解答： 解：证法一：因为（a₁-1）+（a₂-2）+（a₃-3）+…+（a₉-9）
=（a₁+a₂+…+a₉）-（1+2+…+9）=0是偶数，
所以（a₁-1），（a₂-2），…，（a₉-9）这9个数中必定有一个是偶数[否则，便得奇数个（9个）奇数的和为偶数]，
从而可知（a₁-1）（a₂-2）…（a₉-9）是偶数．

证法二：由于1，2，9中只有4个偶数，
所以a₁，a₃，a₅，a₇，a₉中至少有一个是奇数，
于是，a₁-1，a₃-3，a₅-5，a₇-7，a₉-9至少有一个是偶数，
从而（a₁-1）（a₂-2）…（a₉-9）是偶数．

点评：本题考查了整数的奇偶性，难度较大，关键是奇数个奇数的和为奇数进行证明．