Question

如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大．

Answer 1

分析：观察图形可知，用直径为AC的半圆的面积加上直径为BC的半圆的面积之和减去直径为AB的半圆的面积再加上三角形ABC的面积即可得到两个弯月型阴影部分的面积；结合圆中的一些性质：直径所对的圆周角是直角，以及勾股定理可以得到∠ACB为直角，AC²+BC²=AB²，由此可得两个弯月型阴影部分的面积和就等于三角形ABC的面积，因此问题转化成点C在何处时，三角形ABC的面积最大，依据三角形的面积公式，当底不变时，高越大面积就越大，据此即可解决．

解答：解：由分析知，两个弯月型面积和为：

1

2

π×(

AC

2

)2+

1

2

π×(

BC

2

)2-

1

2

π×(

AB

2

)2+

1

2

×AC×BC
=

1

8

πAC²+

1

8

πBC²-

1

8

πAB²+

1

2

×AC×BC
=

1

8

π（AC²+BC²-AB²）+

1

2

×AC×BC
=

1

2

×AC×BC；
所以两个弯月型面积和=△ABC的面积．
当△ABC的底不变时，高越大，面积就越大，
所以当点C在圆周的最高处，即在弧AB的中点上时，△ABC的面积最大，此时，两个弯月型面积和也最大．

点评：本题难度较大，用到圆的性质以及勾股定理的知识，解决的关键就是能推导出两个弯月型阴影部分的面积和等于三角形ABC的面积．