Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB， 为棱PC上一点.

(Ⅰ)若点是PC的中点，证明：B∥平面PAD；

(Ⅱ) 试确定的值使得二面角-BD-P为60°.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合可得题设条件可得四边形是平行四边形， ，由线面平行的判定定理可得结论；（Ⅱ） 两两垂直，以 为原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，可证明平面， 是平面 的法向量，利用向量垂直数量积为零，用表示出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.

试题解析：(Ⅰ)取PD的中点M，连接AM，M，

，

M∥CD，

又AB∥CD， ∥AB，QM＝AB，

则四边形ABQM是平行四边形. ∥AM.

又平面PAD，BQ平面PAD， ∥平面PAD.

（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).

令

又易证BC⊥平面PBD，

设平面QBD的法向量为

令

，

解得

Q在棱PC上，