Question

从1至2000这2000个数中最多能选出多少个数，使得任何两个数的差既不等于4也不等于7？

Answer 1

考点：数字问题

专题：竞赛专题

分析：先证明连续的11个数中符合条件的数{差非4非7}最多有5个，设为n+1，n+2，…，n+11，显然的任意两个数的差与n无关，这样命题等价于证明：1，2，…，11中符合条件的数最多5个，分组为[1，5，9]，[2，6，10]，[3，7]，[4，8，11]则前三组中每组最多取1个，最后一组最多取2个，一共最多取5个，同样的连续的9个数符合条件的最多是5个，分组为[1，5]，[2，6]，[3，7]，[4，8]，[9]显然的最多取5个，对于1，2，…，1989，分组为[1，2，…，11]，[12，13，…，22]，…，[1970，1971，…，1980]，[1992，1995，…，2000]，有前面的结论知道前面的181组每组最多取5个数，最后的一组最多取5个，一共最多取181×5+5=910．

解答： 解：先证明连续的11个数中符合条件的数{差非4非7}最多有5个，设为n+1，n+2，…，n+11，显然的任意两个数的差与n无关，这样命题等价于证明：1，2，…，11中符合条件的数最多5个，分组为[1，5，9]，[2，6，10]，[3，7]，[4，8，11]则前三组中每组最多取1个，最后一组最多取2个，一共最多取5个，同样的连续的9个数符合条件的最多是5个，分组为[1，5]，[2，6]，[3，7]，[4，8]，[9]显然的最多取5个，对于1，2，…，1989，分组为[1，2，…，11]，[12，13，…，22]，…，[1970，1971，…，1980]，[1992，1995，…，2000]，有前面的结论知道前面的181组每组最多取5个数，最后的一组最多取5个，一共最多取181×5+5=910，下面构造实例，为方便某数不取时用0代替他的位置，有10040670900[12]00[15]0[17][18]0[20]00[23]00[26]0[28][29]0[31]00[34]00[37]0[39][40]0[42]00，…，[1992]00[1995]0[1997][1998]0[2000]中间的省略了，它们与1到44的排布是同样的具有周期性，显然该数列符合要求．

点评：此题也可这样理解：可以证明任意连续11个数最多有5个，任意连续9个数最多也有5个（这两句话不矛盾）．
比如1到11里，1，4，6，7，9符合条件（自己可以证明一下5个是最多的，这个不太难）．
下一个周期是12，15，17，18，20符合条件．仔细检查一下，这两部分放一块互不干扰，
很容易看出按这样的规律一直写下去，仍然满足条件．
2000除以11等于181余9，比较容易发现最后9个数仍然有5个．
所以总共有182×5=910