Question

a₁，a₂，a₃，…，a_n是满足0＜a₁＜a₂＜a₃…＜a_n的自然数，且

13

14

=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，那么n的最小值是

4

．

Answer 1

分析：要使n最小，就是使项数最小，则要使每一项都尽量小．a_1＞a_2＞a₃＞…＞a_n＞0，只是告诉我们没有任何两项的分母相同，为了便于表述，不妨设

13

14

＜1，令a₁=2，则

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

13

14

-

1

2

=

3

7

＞

1

3

，
令a₂=3，则

1

a3

+…+

1

an

=

3

7

-

1

3

=

2

21

＞

1

11

，
令a₃=11，则

1

a4

+…+

1

an

=

2

21

-

1

11

=

1

231

，所以a₄=231．
所以，n最小值是4．

解答：解：设

13

14

＜1，令a₁=2，则

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

13

14

-

1

2

=

3

7

＞

1

3

，
令a₂=3，则

1

a3

+…+

1

an

=

3

7

-

1

3

=

2

21

＞

1

11

，
令a₃=11，则

1

a4

+…+

1

an

=

2

21

-

1

11

=

1

231

，所以a₄=231．
所以，n最小值是4．

点评：此题解答的关键在于通过设数法，逐步推出问题得到答案，解决问题．